檪田と櫟田に関して

「檪」と「櫟」は異体字の関係にあります。
ともにJIS第2水準なのですが、「楽」と「樂」と同様にして「檪」をメインに「櫟」を併記扱いとしています。
ただし、苗字によっては、「櫟」の方が多いこともあるようです。

「檪田」は、ウェブの「写録宝夢巣」では全国で18件。
「櫟田」は7件。
大阪府など関西地方にやや多いようです。

「実在苗字（名字）辞典」では、「いちだ＞いちいだ」となっていました。

「いちだ」と「いちいだ」を分けるかどうかですが、あったとしてもかなり少ない読みではないかと思います。

下記の方は、旧姓なのかもしれませんが「櫟田」で「いちだ」となっています。
https://www.facebook.com/aayoi.ichida

他に読み方が明らかなものは見つかりませんでした。

「檪田（櫟田）」は「いちだ」のみとしておこうと思います。