木家に関して

「木家」は「きや」と読みます。
これは問題ありません。

「実在苗字（名字）辞典」では稀少な読みとして「きいえ」も載っていました。
ありえそうですが、探してみるとなかなか見つかりません。

発見できたのは下記の方だけです。
https://www.facebook.com/profile.php?id=100009247194366

基本的にはfacebookでひとりだけだと実在確定としたくないのですが、この方のプロフィール欄やタイムラインを見ていると、本名で良いのではと思いました。

本当の読み方が「きや」で、「きいえ」はアダ名という様子でもないです。
「きいえ」という読みは実在すると考えます。