膳亀に関して

「膳亀」は「実在苗字（名字）辞典」で「ぜんがめ＞ぜんかめ（ぜんき）」となっていました。
ウェブの「写録宝夢巣」で見ると、全国で33件。
そのうち富山県が14件で、北海道が8件です。

「ぜんがめ」と「ぜんかめ」は確認できます。
「ぜんがめ」の方が多いのは確かなようなので、これは統一してしまって良いと思います。

「ぜんき」で見つかったのは下記の方だけでした。
https://www.facebook.com/rio.zenki.9

この方の友達欄には「zenki」という方がいました。
おそらくこの方なのでしょうね。
https://hanafubuki.jimdo.com/%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%90%E3%83%BC%E5%8B%9F%E9%9B%86/

ファーストネームや年齢から考えると、親子なのかなと思います。

facebookで見つけた方をフルネーム検索すると、下記のページが見つかりました。
http://dews365.com/news/special/tohogakuen.html

少し不安でしたが、全てを見ていくと本名で良さそうです。
「ぜんき」という読みもあるのだと思います。